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    不确定性原理

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    量子力學
    {\Delta x}\, {\Delta p} \ge \frac{\hbar}{2}
    不確定性原理
    介紹量子

    數學表述...
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    海森堡不确定性原理或海森堡測不準原理：在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性 \Delta x\,\! 和动量的不确定性 \Delta p\,\! 是不可避免的：

    \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\,\! ；

    其中 \hbar\,\! 是約化普朗克常数。

    类似的不确定性也存在于能量和时间，角动量和角度等許多物理量之间：

    \Delta A \Delta B \ge \left|\frac{\langle [A,B] \rangle}{2i}\right|\,\! 。

    换句话说，A\,\! 的不确定性与 B\,\! 的不确定性的乘积至少是 A\,\! 与 B\,\! 的对易的平均值除以 2i\,\! 。

    不确定性尤其在隧道效应和真空波动中反映出来。不确定性是一种波的特性。在经典物理中波也有不确定性。比如波的频率和波到达的时间之间就有不确定性。要测量频率，就要等几个波峰的到达，但这样一来波到达的时间就没法被精确地测量了。

    1927 年，德国物理学家海森堡首先提出了量子力学中的不确定性。

    目录

    [编辑] 歷史

    海森堡不确定性原理的紀念郵票

    1925 年，維爾納·海森堡創立了矩陣力學[1]。舊量子力學的時代正式結束。取而代之的現代量子力學，大膽地假設，粒子的量子運動並不是精確的。在原子裏的電子並不是移動於明確的軌道，而是模糊不清，無法直接觀察的軌域。其對於時間的傅立葉變換只涉及離散的頻率。

    在海森堡發表矩陣力學的那篇論文裏，他認為只有可觀察量才有物理意義。所以，他專注於研究電子從一個量子態躍遷至另一個量子態時，所發射的光的離散頻率。很正確地，朝這方向發展，海森堡很快地研究出矩陣力學。他計算出位置與動量的無限矩陣，這兩個無限矩陣最顯著的性質就是它們不互相對易。在那時，還沒有很明瞭的物理詮釋，這重要的結果稱為正則對易關係：

    [x,\,p] = xp - px= i \hbar\,\! 。

    1927 年 2 月，在哥本哈根大學的波耳理論物理學院當講師的時候，海森堡研究出不確定性原理，從而為後來知名為哥本哈根詮釋鋪設了的堅固的基礎。海森堡表明，對易關係意味不確定性，或者，使用波耳的術語，互補性。任意兩個不對易的變量不能同時被測量出來；更精確地知道其中一個變量的同時，必定會更不精確地知道另外一個變量。

    數值計算出來的單狹縫繞射圖案。一個平面波入射於一座有一條狹縫的不透明擋牆。狹縫的寬度是波長的 4 倍。很清楚地可以看到中心波束，零點，與反相位點。
    單狹縫繞射抵達偵測屏障的強度的圖形與影像。

    通過波粒二象性，可以了解位置和動量之間的互補性。用平面波來描述粒子。假若，這平面波遇到一座有一條狹縫的不透明擋牆，平面波會穿過狹縫，在檔牆後面的偵測屏障，顯示出干涉現象。從中心點（最大波強度之點）到第一個零點（零波強度之點）的夾角 \theta\,\! ，根據單狹縫繞射公式，可以表達為

    \sin\theta= \lambda/w\,\! ；

    其中，\lambda\,\! 是波長，w\,\! 是狹縫寬度。

    \theta\,\! 是繞射現象的一種估量。狹縫越窄，繞射現象越寬闊，\theta\,\! 越大；狹縫越寬，繞射現象越窄縮，\theta\,\! 越小。

    當粒子穿過狹縫之前，在 y 方向（垂直於粒子前進方向）的動量 p_y\,\! 是零。穿過狹縫時，粒子的 p_y\,\! 遭到改變。p_y\,\! 可以由粒子抵達偵測屏障的位置計算出來。p_y\,\! 的不確定性 \Delta p_y\,\! 大約是

    \Delta p_y\approx p\sin\theta\approx\theta\approx p\lambda/w\,\!


    當粒子穿過狹縫時，我們可以相當有信心的說，粒子的位置不確定性 \Delta y\,\! 是狹縫寬度：\Delta y\approx w\,\! 。

    所以，

    \Delta y\Delta p_y\approx\lambda p\,\! 。

    從德布羅意假說，

    \lambda=\frac{h}{p}\,\! ；

    其中，h\,\! 是普朗克常數，p\,\! 是動量。

    所以，

    \Delta y\Delta p_y\approx h\,\! 。

    在他著名的論文 (1927) 裏，海森堡建立了這表達式，表明了任何位置測量所造成的最小無法避免的動量不確定值[2]。可是，他並沒有給予 \Delta x\,\! 和 \Delta p\,\! 精確的定義。他只計算出幾個案例的合理評估。在海森堡的芝加哥講義裏[3]。他又進一步改善了這關係式：

    \Delta x\Delta p\gtrsim h\,\! 。(1)

    可是，於 1927 年，E. H. Kennard 首先算出了現代不等式[4]：

    \sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}\,\! ；(2)

    其中，\sigma_x\,\! 是位置標準差，\sigma_p\,\! 是動量標準差，\hbar\,\! 是約化普朗克常數。

    海森堡本人只證明了在高斯量子態特別案例的關係式 (2) [3]。

    [编辑] 觀察者效應

    不確定性原理時常會被解釋為這句話：粒子位置的測量必然地擾亂了粒子的動量；反過來說也對，粒子動量的測量必然地擾亂了粒子的位置。換句話說，不確定性原理是一種觀察者效應的發示。

    這解釋時常會引人產生錯誤的想法。它使人覺得，在概念上，這擾亂似乎是可以避免的；粒子的量子態可以同時擁有明確的位置和明確的動量，問題是我們所設計的最尖端實驗儀器仍舊無法置備出這些量子態。事實上，在量子力學裏，明確位置與明確動量的量子態並不存在。我們不能怪罪於實驗儀器。所以，由于这方面的原因，我们最好称它为不确定性原理,而不是测不准原理.

    海森堡並沒有專注於量子力學的數學部分，他主要的目標是在建立一種事實：不確定性是宇宙的一種特性；我們絕對無法測量一個粒子的位置和動量比量子力學所允許的更精確。這事實的證明，海森堡的物理論點是以量子的存在為基礎，而不是使用整個量子力學形式論。

    原因是，在那時，量子力學尚未被物理學術界廣泛的接受，不確定性原理是個相當詫異的結果。許多物理學家認為，明確位置與明確動量的量子態的不存在，是量子力學的一個瑕疵。海森堡試著表明這不是一個瑕疵，而是一個特色，宇宙的一個又深奧微妙，又令人驚訝的特色。為了要達到這目的，他不能使用量子力學形式論，因為他要辯護的正是量子力學形式論本身。

    [编辑] 海森堡的顯微鏡

    用來定位電子位置的海森堡伽瑪射線顯微鏡。波長為 \lambda\,\! 的入射伽瑪射線（以綠色表示），被電子散射後，進入顯微鏡的孔徑角 \theta\,\! 。散射的伽瑪射線以紅色表示。在經典光學裏，分辨電子位置的不確定性是 \Delta x=\lambda/\theta\,\! 。
    主条目：海森堡顯微鏡

    為了辯解不確定性原理，海森堡設計了一個想像的伽瑪射線顯微鏡實驗[3]。在這實驗裏，一個測量者朝著電子射出一粒光子，想要測量一個電子的位置和動量。

    假若光子的波長很短。那麼，光子的動量很大。使用這光子來測量，可以很精確地得到電子位置。可是，光子會往隨機方向被撞散，轉移了一大部分不確定的動量給電子。假若光子的波長很長，那麼，光子的動量很小，這碰撞不會大大地改變電子的動量。可是，我們也只能大約地知道電子的位置。

    根據瑞利準則，電子位置的不確定性 \Delta x\,\! 是

    \Delta x\approx \frac{2f\lambda}{D}\,\! ；

    其中，f\,\! 是顯微鏡的焦距，\lambda\,\! 是光子的波長，D\,\! 是孔徑的直徑。

    假設，電子原本的位置是在顯微鏡的焦點，那麼，

    \frac{D}{2f}=\tan\theta\approx \theta\,\! ；

    其中，\theta\,\! 是孔徑角。

    所以，

    \Delta x\approx \frac{\lambda}{\theta}\,\! 。

    由於動量守恆定律，光子的碰撞會改變電子的動量。根據康普頓散射理論，電子動量的不確定性 \Delta p\,\! 是

    \Delta p\approx \frac{2h\theta}{\lambda}\,\! ；

    其中，h\,\! 是普朗克常數。

    所以，

    \Delta x\Delta p\approx 2h\,\! 。

    不論光子波長和孔徑尺寸為何，位置測量的不確定性和動量測量的不確定性，其乘積必定大於或等於一個下界，普朗克常數的數量級。海森堡並沒有給予不確定性原理一個精確界。他比較喜好將不確定性原理用為一個歷練的數量句子，正確至小因子。

    [编辑] 批評與反應

    主条目：波耳-愛因斯坦辯論

    愛因斯坦認為，不確定性原理表明了，波函數不能夠完全地描述一個粒子的量子行為；波函數只能描述一個系綜的粒子機率性的量子行為。波耳則主張，波函數能夠完全地描述一個粒子的量子行為。從波函數求得的機率分佈是基礎的，是無法約化的。一個粒子只能擁有明確的位置或動量，不能同時擁有兩者。這是不確定性原理的真諦[5]。就好像魚與熊掌的不可兼得，一個粒子不能同時擁有明確的位置與明確的動量。兩位物理大師的辯論，對於不確定性原理以及其所涉及的種種物理實際問題，延續了很多年。

    [编辑] 愛因斯坦狹縫

    單狹縫實驗的不透明固定隔版與其狹縫。
    為了要實現愛因斯坦的提議，必須將固定隔版更換為一個可上下移動的隔板。用彈簧將隔版懸吊起來。在隔版下端裝了一根直尺。隔版的支撐架固定了一個指針。指針所指在直尺的數目，可以用來紀錄隔版的位置，進而計算隔版的動量。
    波耳改良後的愛因斯坦盒子。愛因斯坦本來以為這個儀器可以顯示出時間-能量不確定性原理的錯誤。

    愛因斯坦提出了一個思想實驗來挑戰不確定性原理。愛因斯坦認為這個思想實驗,稱為愛因斯坦狹縫問題，能夠同時測量明確的位置與動量，：

    愛因斯坦狹縫問題的實驗裝置與單狹縫實驗的裝置類似。最大的不同就是只考慮一個粒子的量子行為。假設一個粒子垂直地穿過一片不透明隔版的一條狹縫，再經過移動一段行程後，抵達偵測屏障。假若不確定性原理是正確的，那麼，這寬度為 w\,\! 的狹縫，在粒子通過的時候，給予了粒子的動量大約 \hbar/w\,\! 的不確定性。但是，我們可以測量隔版的反彈作用至任意精確度。根據動量守恆定律，粒子的動量等於隔版的反彈動量，取至任意精確度；而粒子位置的不確定性只有 w\,\! 。所以，不確定性原理不成立。

    波耳回應，隔版也是量子系統的一部分。假若要測量反彈作用的動量，同時保持不確定性小於或等於 \Delta P\,\! ，則必須知道，在粒子通過前後，隔版的動量，而且這動量的不確定性必須小於或等於 \Delta P\,\! 。這個要求造成了隔版位置的不確定性 \Delta X\approx \hbar/\Delta P\,\! 。這不確定性會轉移成為狹縫位置的不確定性和粒子位置的不確定性。所以，不確定性原理是正確的。

    [编辑] 愛因斯坦盒子

    愛因斯坦又設計出一個思想實驗，來挑戰時間-能量不確定性原理， \Delta E\Delta t\ge \hbar/2\,\! 。這個實驗與愛因斯坦狹縫實驗類似，祇是在這裏，粒子穿過的狹縫是時間。

    試想一個裝滿了光子的盒子。有一扇百葉窗裝在盒子的一邊。百葉窗的控制器可以自動的開啟百葉窗很短的一段時間 \Delta t\,\! ，讓一粒光子發射出去，然後自動的關閉。為了要測量發射出去的光子的能量，愛因斯坦又建議，先稱一稱發射前盒子的重量，再稱一稱發射後盒子的重量。藉用狹義相對論的質能方程式 E=mc^2\,\! ，可以用兩者之差來計算失去的能量。由於，理論上，我們可以測量盒子的重量至任意精確度。因此，可以使 \Delta E\,\! 變的很微小。這樣，會得到 \Delta E\Delta t< \hbar/2\,\! ，因而推翻時間-能量不確定性原理。

    經過一天的長考，波耳發現了愛因斯坦這篇巧妙論述的破綻。為了保證實驗正確的運作，必須用彈簧將愛因斯坦盒子懸吊於一個重力場之中，在盒子的一邊裝備一個指針。盒子的支撐架固定了一根直尺。指針所指在直尺的數目，可以用來紀錄盒子的位置。從位移數據，可以計算出盒子在光子發射前後的重量差。可是，位置的不確定性會造成重量的不確定性，以及能量的不確定性 \Delta E\,\!。

    換另一方面。由於整個系統都處於一個重力場之中，根據等價原理，時鐘的時針位置的不確定性會造成時間測量的不確定性 \Delta t\,\! 。仔細的分析這效應可以證明時間-能量不確定性原理是正確的。

    [编辑] EPR 弔詭

    在愛因斯坦提出 EPR 弔詭思想實驗以後，波耳不得不修改他對不確定性原理的認識。於 1935 年，愛因斯坦、玻理斯·波多斯基、納森·羅森共同發表了EPR 弔詭，分析兩個相隔很遠的粒子的量子糾纏現象。愛因斯坦認為，測量其中一個粒子 A，會同時改變另外一個粒子 B 的機率分佈；但是，狹義相對論不允許資訊的傳播速度超過光速，測量一個粒子 A，不可能同時擾動另外一個粒子 B。這個弔詭使得波耳修改了他對不確定性原理的認識：不確定性不是由直接的測量作用造成的[6]。

    從這思想實驗，愛因斯坦獲得益愈深遠的結論。他覺得對於物理實際的一個完備的描述，必須使用局域決定的數量來預測實驗結果。因此，超過不確定性原理所能夠允許的，這描述需要包含更多的資訊。

    1964 年，約翰·貝爾對愛因斯坦的假定提出質疑，表明這假定可以被嚴厲地檢驗。因為，這假定意示著某種不等式存在於幾個不同實驗的機率。依照貝爾的提示，實驗者做了很多這方面的實驗，結果確認了量子力學的預測，排除了局域隱變數 (hidden variable) 的假定。

    雖然，我們仍舊可以假定，非局域隱變數給予了量子力學的預測。事實上，大衛·波姆就提出了這樣一種表述。但是，對於大多數物理學家，這並不是一個令人滿意的詮釋。他們認為量子力學是正確的。因為經典直覺不能對應於物理實際，EPR 弔詭只是一個弔詭。EPR 弔詭的意義相依於到底採用哪一種詮釋。哥本哈根詮釋主張，測量這動作造成了瞬間的波函數塌縮。但是，這並不是瞬間的因果效應。測量這動作只影響我們定義物理系統的數量的能力，並沒有影響整個物理系統。

    [编辑] 波普爾批評

    卡爾·波普爾嚴厲地批評海森堡不確定性原理：位置的測量擾動了動量。假設一個擁有明確動量的粒子，在通過一條狹縫以後，朝著原來的運動方向，繞射的波的機率幅並不等於零。這粒子的動量與先前的動量相等的機率，不論有多小，絶對不等於零。

    波普爾認為這些稀有的事件是海森堡不確定性原理的反證。為了要維持這原理的正確性，他總結不確定性原理不能應用於單獨粒子或單獨測量；而必須應用於許多許多同樣製作的粒子，稱為系綜。波普爾批評可以應用於幾乎每一個機率理論，因為任何一個機率理論，都會要求許多的測量來確認或反駁。

    波普爾批評並沒有增加物理學家的困惑。波普爾推測的理由是，測量顯示出某些已存在的關於粒子的資訊，像粒子的動量。在量子力學的描述裏，波函數是關於粒子的量子態的一個完備的描述。採用哥本哈根詮釋，波普爾的例子不是一個反證，因為在粒子繞射過狹縫之後，在動量被測量之前，波函數已經改變了，動量的不確定性仍舊遵守不確定性原理。

    [编辑] 導引

    當兩個算符 A\,\! 和 B\,\! 作用於一個函數 \psi(x)\,\! 時，它們不一定會對易。例如，設定 B\,\! 為乘以 x\,\! ，設定 A\,\! 為取隨著 x\,\! 的導數。那麼，

    (AB - BA) \psi = \frac{d}{dx} ( x \psi) - x \frac{d}{dx} \psi = \psi\,\! 。

    使用算符語言，可以表達為

    {d\over dx} x - x {d\over dx} = 1\,\! 。

    這例子很重要。因為，它很像量子力學的正則對易關係。特別地，位置算符 x\,\! 和動量算符 p\,\! 的正則對易關係是

    [x,\,p]=(xp - px)= - i\hbar x\frac{d}{dx}+i\hbar\frac{d}{dx}x =i\hbar\,\! 。

    在希爾伯特空間內，任意兩個態向量 |\alpha\rangle\,\! 和 |\beta\rangle\,\! ，必定滿足柯西-施瓦茨不等式：

    \langle\alpha|\alpha\rangle \langle\beta|\beta\rangle\ge|\langle\alpha|\beta\rangle|^2\,\! 。

    限制算符 A\,\! 和 B\,\! 為厄米算符。它們所代表的都是可觀察量。設定

    \alpha=A\psi\,\! ，
    \beta=B\psi\,\! 。

    那麼，

    \langle A\psi|A\psi\rangle \langle B\psi|B\psi\rangle\ge |\langle A\psi|B\psi\rangle|^2 \,\! 。

    一個複數的絕對值平方必定大於其虛數部分的絕對值平方：

    |\langle A\psi|B\psi\rangle|^2 \ge |\mathfrak{im}(\langle A\psi|B\psi\rangle)|^2 =\frac{1}{4} |2\mathfrak{im}(\langle A\psi|B\psi\rangle)|^2 \,\! ；

    其中，\mathfrak{im}\,\! 意示取右邊項目的虛數。

    一個複數的虛數部分等於這複數減去其共軛複數：

    \mathfrak{im}(\langle A\psi|B\psi\rangle)=\frac{\langle A\psi|B\psi\rangle - \langle A\psi|B\psi\rangle^*}{2i}=\frac{\langle\psi|[A,\,B]|\psi\rangle}{2i}\,\! ，

    從這三排公式，可以得到羅伯森-薛丁格關係式：

    \langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A,\,B]\rangle|^2 \,\!。

    羅伯森-薛丁格不確定性關係式還不是海森堡不確定性關係式的形式。為了要求得海森堡不確定性關係式，執行以下替換：

    A\to A - \langle A\rangle\,\! ，
    B\to B - \langle B\rangle\,\! 。

    那麼，

    \langle ( A - \langle A\rangle)^2 \rangle \langle (B - \langle B\rangle)^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A - \langle A\rangle,\,B - \langle B\rangle]\rangle|^2=\frac{1}{4}|\langle [A,\,B]\rangle|^2 \,\!。

    定義標準偏差 \Delta X\,\! 為

    \Delta X\equiv \sqrt{\langle(X - \langle X\rangle)^2\rangle}=\sqrt{\langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2}\,\! 。

    則可得到任意兩個可觀察量算符的不確定性原理：

    \Delta A\Delta B\ge\frac{1}{2}|\langle [A,\,B]\rangle|\,\! 。

    [编辑] 矩陣力學

    在矩陣力學裏，位置的不確定性與動量的不確定性的關係式為何？

    位置矩陣 X\,\! 與動量矩陣 P\,\! 的對易算符永遠不等於零，而是等於常數 i\hbar\,\! 乘以單位矩陣 I\,\! ：

    [X,\,P]=i\hbar I\,\! 。

    這意味著，X\,\! 與 P\,\! 無法共同擁有同樣的本徵態，無法同時被對角化。所以，一個量子態絶對無法同時給予 X\,\! 與 P\,\! 明確的本徵值 \tilde{x}\,\! 與 \tilde{p}\,\! ；否則

    XP=\tilde{x}\tilde{p}=\tilde{p}\tilde{x}=PX\,\! ，
    [X,\,P]=0\,\! 。

    給予任意量子態 |\psi\rangle\,\! ，位置和動量的期望值 x\,\! 和 p\,\! ：

    x=\langle \psi|X|\psi\rangle = \sum_{ij} \psi^*_i X_{ij} \psi_j \,\! ，
    p=\langle \psi|P|\psi\rangle= \sum_{ij} \psi^*_i P_{ij} \psi_j\,\! 。

    由於位置和動量是可觀察量， x\,\! 和 p\,\! 都是實數。當兩個矩陣分別做單位矩陣 I\,\! 的不同實數倍數的移位，新得的兩個矩陣的對易算符不變。

    [X - xI,\, P - pI] = [X,\,P] = i\hbar\,\! 。

    設定 \hat{X}\,\! 和 \hat{P}\,\! 分別為位置和動量與其期望值的偏差：

    \hat{X}=X - xI \,\! ，
    \hat{P}=P - pI\,\! 。

    那麼，它們的對易算符的期望值是：

    \langle \psi| [ \hat X, \hat P ] |\psi\rangle = i \hbar \langle \psi|\psi \rangle = i \hbar\,\!

    使用類似前面導引段落所述方法，設定

    \alpha=\hat{X}\psi\,\! ，
    \beta=\hat{P}\psi\,\! 。

    那麼，根據柯西-施瓦茨不等式

    \langle \hat{X}\psi|\hat{X}\psi\rangle \langle\hat{P}\psi|\hat{P}\psi\rangle\ge |\langle \hat{X}\psi|\hat{P}\psi\rangle|^2\,\! 。

    注意到 (\Delta X)^2=\langle\psi|\hat{X}^2|\psi\rangle\,\! 、(\Delta P)^2=\langle\psi|\hat{P}^2|\psi\rangle\,\! ，可以得到

    (\Delta X)^2(\Delta P)^2 \ge |\langle\hat{X}\psi|\hat{P}\psi\rangle|^2 \,\! ，

    或者，

    \Delta X\Delta P \ge |\langle\hat{X}\psi|\hat{P}\psi\rangle|= |\langle\psi|\hat{X}\hat{P}|\psi\rangle|\,\! 。

    一個複數的絕對值必定大於其虛數部分的絕對值：

    |\langle\psi|\hat{X}\hat{P}|\psi\rangle|\ge|\langle\psi|\mathfrak{im}(\hat X \hat P ) |\psi\rangle|\,\! 。

    而虛數部分是

    \mathfrak{im}(\hat{X}\hat{P})=\frac{\hat{X}\hat{P} - \hat{P}\hat{X}}{2i}=\frac{[\hat{X},\,\hat{P}]}{2i}=\frac{\hbar}{2}\,\! 。

    這樣，可以得到位置和動量的不確定關係式：

    \Delta X\Delta P \ge \frac{\hbar}{2}\,\! 。

    假若，將實數部分也包括在內，則會增添一個項目於不確定性關係式裏。這額外項目對於位置和動量的不確定性並不太有用。因為，對於高斯波包，量子諧振子的基態，它的期望值是零。但是，這額外項目可以用來給予自旋算符 (spin operator) 一個下界。

    [编辑] 波動力學

    在薛丁格的波動力學裏，波函數描述粒子的量子行為。在某個位置，波函數絕對值的平方是粒子處於那位置的機率；機率越高，則粒子越常處於那位置。動量則與波函數的波數有關。

    [编辑] 區域性波包

    一個區域性的波包必定沒有很確定的波數。假設一個波包的尺寸大約為 L\,\! ．那麼，通過點數波包的週期數 N\,\! ，我們可以知道其波數 k\,\! ：

    k=2\pi N/L\,\! 。

    假若，點數 N\,\! 的準確度為 \Delta N=1\,\! ，那麼，波數的不確定性是

    \Delta k=2\pi /L\,\! 。

    從德布羅意假說，我們知道 P=\hbar k\,\! 。因此，動量的不確定性是

    \Delta P=\hbar \Delta k=\frac{h}{L}\,\! 。

    由於粒子位置的不確定性是 \Delta X\approx L\,\! ，所以，不確定性原理成立：

    \Delta P \Delta X \approx h\,\! 。

    [编辑] 高斯波包

    高斯波函數的動量與位置不確定性關係式的計算，是一個很有啟發性的練習。設定一個粒子的波函數 \psi(x)\,\! 是高斯函數：

    \psi(x) =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {Ax^2 / 2}}\,\! 。

    由於對稱性，這粒子的位置期望值 \langle x\rangle\,\! 等於零。經過查閱積分手冊，位置標準偏差 \sigma_x\,\! 是

    \sigma_x^2=\langle x^2 \rangle =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{ - A x^2} dx=\frac{1}{2A}\,\! 。

    接下來，傅利葉轉換高斯函數 \psi(x)\,\! 至波數空間的波函數 \phi(k)\,\! ：

    \begin{align}\phi(k) & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {A\over 2}x^2}e^{ - ikx} dx \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ - {A\over 2}(x + ik/A)^2 - {k^2/2A} } dx \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- {A\over 2}(x+ik/A)^2} dx \\ \end{align}\,\! 。

    為了要除去最右邊的積分對於波數 k\,\! 的相依，做連續變數替換，x\rightarrow x - ik/A \,\! 。那麼，

    \phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- {A\over 2}x^2} dx \,\! 。

    由於這複平面的積分路徑的改變並沒有經過任何奇異點，得到的積分不相依於 k\,\! 。查閱積分手冊，可以得到波數空間的波函數

    \phi(k) =\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/4}e^{- k^2/2A}\,\! 。

    由於對稱性，波數期望值 \langle k\rangle\,\! 等於零。經過查閱積分手冊，波數標準偏差 \sigma_k\,\! 是

    \sigma_k^2=\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/2} \int_{ - \infty}^{\infty} k^2 e^{ - k^2/A} dk=\frac{A}{2}\,\! 。

    根據德布羅意假說，p=\hbar k\,\! 。所以，

    \sigma_p^2=\frac{A\hbar^2}{2}\,\! 。

    因此，可以得到位置和動量的不確定性關係式：

    \sigma_x \sigma_p = \sqrt{1\over 2A}\sqrt{ A\hbar^2\over 2} =\frac{\hbar}{2}\,\! 。

    特別注意，由於波函數是高斯函數，這關係式很緊密，是個等號關係式。

    [编辑] 羅伯森-薛丁格關係式

    給予量子態 \psi\,\! ，任意兩個厄米算符 A\,\! 和 B\,\! ，其對應的測量的標準偏差分別為 \sigma_A\,\! 和 \sigma_B\,\! 。那麼，

    \sigma_A^2 \, \sigma_A^2 \geq \frac{1}{4}\left|\left\langle\left[A,\,B\right]\right\rangle\right|^2 +{1\over 4} \left|\left\langle\left\{ A - \langle A\rangle,\,B - \langle B\rangle \right\} \right\rangle\right|^2\,\! ；

    其中，\{\alpha,\,\beta\}=\alpha\beta+\beta\alpha\,\! 是反對易算符。

    稱這關係式為羅伯森-薛丁格關係式。海森堡不確定性原理是它的一個特別案例。

    [编辑] 別種不確定性原則

    羅伯森-薛丁格關係式給予了兩個不相容可觀察量的不確定性關係式：

    • 處於一個一維位勢，一個粒子的能量與位置的不確定性關係式為
    \Delta E \Delta x \geq {\hbar\over 2m} \left|\left\langle p_{x}\right\rangle\right| \,\!
    • 角動量算符的兩個互相垂直的分量算符的不確定性關係式為
    \Delta J_i \Delta J_j \geq \frac{\hbar}{2} \left|\left\langle J_k\right\rangle\right|\,\!；
    其中，i\neq j\neq k\,\! ，J_i\,\! 標記沿著x_i\,\!-軸的角動量。
    \Delta N \Delta \phi \geq 1\,\! 。

    [编辑] 能量-時間不確定性原理

    很多早期的量子力學先驅，包括波耳在內，認為能量-時間不確定性關係式成立：

    \Delta E \Delta t \gtrapprox \frac{\hbar}{2} \,\! 。

    可是，他們並不清楚，\Delta t\,\! 到底是什麼？時間 t\,\! 不是一個屬於粒子的算符，而是一個描述系統演化的參數。愛因斯坦和波耳很明白這關係式的歷練意義：一個只能暫時存在的量子態，不能擁有明確的能量。為了要擁有明確的能量，量子態的頻率必須很準確，這連帶地要求量子態持續很多週期。

    例如，在光譜學裏，激發態 (excited state) 的壽命是有限的。根據能量-時間不確定性原理，激發態沒有明確的能量。每次衰變所釋放的能量都會稍微不同。發射出的光子的能量，其峰值是量子態的理論能量，可是，其分佈的峰寬 是有限的，稱為自然線寬 (spectral linewidth) 。 衰變快的量子態有線寬比較寬闊；而衰變慢的量子態線寬比較狹窄。

    衰變快的量子態的線寬，因為比較寬闊，不確定性比較大。為了要得到清晰的能量，實驗者甚至會使用微波空腔 (microwave cavity) 來減緩衰變率[8] (decay rate) 。這線寬效應，使得衰變快的粒子的測量靜止質量工作，也變的很困難。粒子衰變越快，它的質量的測量越不確定。

    能量-時間不確定性原理還有一個時常會遇到的錯誤解釋：假若，一個量子系統的能量測量，準確度是 \Delta E\,\! ，那麼，需要的測量時間是 \Delta t > h/\Delta E\,\! 。這句話的錯誤為，\Delta t\,\! 是系統不受到擾動的時間間隔；而不是實驗儀器開啟關閉的時間間隔。

    1945 年，Leonid Mandelshtam 和伊戈爾·塔姆共同研究出一種能量-時間不確定性原理的表述[9]。思考一個量子系統的相依於時間的量子態 |\psi\rangle\,\! ，表示其可觀察量的算符為 B\,\! 。設定 \Delta t=\cfrac{\Delta B}{\left|\frac{d}{dt}\langle B \rangle\right|}\,\! 。那麼，能量-時間不確定性關係式成立：

    \Delta E \Delta t\ge \frac{\hbar}{2} \,\! ；

    其中，\Delta E\,\! 是能量算符作用於 |\psi\rangle\,\! 的標準偏差，而 \Delta t\,\! 是時間間隔，期望值 \langle B\rangle\,\! 減少或增加一個標準偏差 \Delta B\,\! 所需的時間間隔。

    [编辑] 導引

    根據埃倫費斯特定理，

    \frac{d}{dt}\langle B\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [H,\, B]\rangle + \left\langle \frac{\partial B}{\partial t}\right\rangle\,\! 。

    其中，t\,\! 是時間，H\,\! 是哈密頓算符。

    一般而言，算符不顯性地相依於時間。所以，稍加編排，取絶對值，可以得到

    |\langle [H,\, B]\rangle| =\hbar\left|\frac{d}{dt}\langle B\rangle\right|\,\! 。

    不確定性原理闡明，對於任意兩個可觀察量算符 H\,\! 和 B\,\! ，

    \Delta H\Delta B\ge \frac{1}{2}|\langle [H,\,B]\rangle|\,\! 。

    所以，

    \Delta H\Delta B\ge \frac{\hbar}{2}\left|\frac{d}{dt}\langle B\rangle\right|\,\! 。

    對於量子態 |\psi\rangle\,\! ，哈密頓算符與能量 E\,\! 的關係是

    H|\psi\rangle=E|\psi\rangle\,\! 。

    設定\Delta t=\frac{\Delta B}{\left|\frac{d}{dt}\langle B\rangle\right|}\,\! 。那麼，能量-時間不確定性關係式成立：

    \Delta E\Delta t\ge \frac{\hbar}{2}\,\! 。

    [编辑] 參閱

    [编辑] 參考文獻

    1. ^ W. Heisenberg, Über quantentheoretishe Umdeutung kinematisher und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (received July 29, 1925). [English translation in: B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (English title: "Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations").]
    2. ^ W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik. 43 1927, S. 172–198.
    3. ^ 3.0 3.1 3.2 W. Heisenberg (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (Leipzig: Hirzel)。 English translation The Physical Principles of Quantum Theory (Chicago: University of Chicago Press, 1930).
    4. ^ E. H. Kennard, Zeitschrift für Physik 44, (1927) 326
    5. ^ Norton, John (1986), "Thought Experiments in Einstein's Work", in Horowitz, Tamara & Gerald Massey, THOUGHT EXPERIMENTS IN SCIENCE AND PHILOSOPHY, University of Pittsburgh: Rowman and Littlefield
    6. ^ Isaacson, Walter（May 13, 2008）．Einstein: His Life and Universe．New York：Simon & Schuster，pp. 452．ISBN 978-0743264730． 
    7. ^ Anderson, P.W. (1964), "Special Effects in Superconductivity", in Caianiello, E.R., Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2, New York: Academic Press
    8. ^ Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt（1985年）．“Observation of Inhibited Spontaneous Emission”．Physical Review Letters，55：67–70．doi:10.1103/PhysRevLett.55.67． 
    9. ^ L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm, The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics, 1945

    [编辑] 外部連結